Possiamo rappresentare un vettore appartenente a R3 simulando con GeoGebra uno spazio tridimensionale raffigurato da tre piani perpendicolari intersecati nell'origine O. Il vettore parte da O e giunge in P, con P definito dai parametri.
Come vedremo, questa rappresentazione aiuta a comprendere più facilmente alcune proprietà di vettori e matrici in R3.
Il prodotto vettoriale tra due vettori a e b in uno spazio tridimensionale è un'operazione che genera un terzo vettore c con direzione perpendicolare ad a e b, verso dipendente dalla posizione dei due vettori (determinabile facilmente con la "regola della mano destra") e modulo pari a a x b = |a|×|b|×sin(α), con α angolo tra a e b.
Il prodotto misto è un'operazione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori
dello spazio tridimensionale.
Il risultato è uno scalare, il cui valore assoluto non dipende dall'ordine né dei tre vettori né delle due operazioni.
Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori.
Come conseguenza di questa proprietà, il prodotto misto è pari a zero se e solo se i tre vettori sono complanari;
per questo motivo, e poichè gode della proprietà commutativa a meno del segno, è comune usare il prodotto misto come test di complanarità.
Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine dei vettori e delle due operazioni (a x b)⋅c = (b x c)⋅a = (a x c)⋅b.
Si può calcolare il prodotto misto semplicemente calcolando il determinante della matrice formata dai tre vettori.
Ogni matrice 3x3 A corrisponde ad una trasformazione lineare che trasforma ogni vettore v di R3 nel vettore u = Av.
Creato da Maurizio Gino Nolli con GeoGebra